5. Какой остаток при делении на 7 дает число 6 в степени 53? с решением

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться свойствами остатка от деления и операций взятия остатка по модулю.

Заметим, что число 6 в степени 53 можно представить как произведение меньших степеней числа 6:

6^53 = (6^3)^17 = 216^17

217 является наименьшим числом, которое больше 216 и делится на 7 без остатка, поэтому мы можем заменить 216 на 217:

6^53 ≡ 217^17 (mod 7)

Заметим также, что 217 = 7 * 31, поэтому мы можем использовать свойство остатка от деления:

6^53 ≡ (7 * 31)^17 (mod 7)

Теперь мы можем применить свойство остатка от деления произведения:

6^53 ≡ (7^17 * 31^17) (mod 7)

Снова используем свойство остатка от деления произведения:

6^53 ≡ (1^17 * (31^2)^8 * 31) (mod 7)

Теперь мы можем применить свойство остатка от деления степени числа:

6^53 ≡ (1 * (31^2)^8 * 31) (mod 7)

Рассчитаем остатки от деления каждого из чисел на 7:

1 ≡ 1 (mod 7)
(31^2)^8 ≡ (1^2)^8 ≡ 1^8 ≡ 1 (mod 7)
31 ≡ 3 (mod 7)

Теперь мы можем заменить каждое из чисел на его остаток от деления на 7:

6^53 ≡ (1 * 1 * 3) (mod 7)

Умножим числа и найдем остаток от деления на 7:

6^53 ≡ 3 (mod 7)

Таким образом, остаток при делении числа 6 в степени 53 на 7 равен 3.