Знайти об'єм піраміди, побудованої на векторах a=(-5 ; 2 ; 1), b=(-4 ;-1 ; 1), c=(-3 ; 1 ; 2)

Ответ:

Об'єм піраміди, побудованої на трьох векторах \( \mathbf{a} \), \( \mathbf{b} \), \( \mathbf{c} \), можна знайти за допомогою векторного добутку.

Векторний добуток двох векторів визначається як \( \mathbf{u} \times \mathbf{v} = |\mathbf{u}| \cdot |\mathbf{v}| \cdot \sin(\theta) \cdot \mathbf{n} \), де \( |\mathbf{u}| \) та \( |\mathbf{v}| \) - довжини векторів, \( \theta \) - кут між ними, а \( \mathbf{n} \) - одиничний вектор, перпендикулярний площині, утвореній векторами \( \mathbf{u} \) і \( \mathbf{v} \).

Об'єм піраміди можна знайти за формулою \( V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h \), де \( S \) - площа основи, а \( h \) - висота піраміди.

У нашому випадку \( S = |\mathbf{u} \times \mathbf{v}| \) та \( h \) - відстань від вершини піраміди до площини основи, яку можна знайти як проекцію вектора \( \mathbf{c} \) на напрямок вектора \( \mathbf{n} \).

Розрахуємо це:

1. Знайдемо \( \mathbf{u} \times \mathbf{v} \):

\[ \mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -5 & 2 & 1 \\ -4 & -1 & 1 \end{vmatrix} \]

\[ = \mathbf{i} \cdot (-2 - 1) - \mathbf{j} \cdot (-5 - (-4)) + \mathbf{k} \cdot (-5 - (-4)) \]

\[ = -3\mathbf{i} - \mathbf{j} - \mathbf{k} \]

2. Знайдемо висоту \( h \):

\[ h = \frac{\mathbf{c} \cdot \mathbf{n}}{|\mathbf{n}|} \]

\[ = \frac{(-3 \cdot 1) + (1 \cdot (-1)) + (2 \cdot (-1))}{\sqrt{(-3)^2 + (-1)^2 + (-1)^2}} \]

\[ = \frac{-3 - 1 - 2}{\sqrt{11}} \]

\[ = \frac{-6}{\sqrt{11}} \]

Отже, об'єм піраміди:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot |\mathbf{u} \times \mathbf{v}| \cdot h \]

\[ = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2 + (-1)^2} \cdot \frac{-6}{\sqrt{11}} \]

\[ = \frac{6\sqrt{11}}{11} \]