Как найти промежутки монотонности и точки экстремума этой функции? (x+2)^2(4-x)

Для того чтобы найти промежутки монотонности и точки экстремума функции f(x) = (x+2)^2(4-x), нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции f'(x) с помощью правила производной произведения и цепного правила:
f'(x) = ((x+2)^2)'(4-x) + (x+2)^2(4-x)'

2. Упростите полученное выражение и найдите его нули. Нули производной могут определять точки экстремума.
Уравнение f'(x) = 0 даст нам точки, в которых производная равна нулю.

3. Изучите знак производной на каждом из промежутков между найденными нулями производной. Если производная положительна, то функция возрастает. Если производная отрицательна, то функция убывает. Точки разрыва, вертикальных асимптот и значений x, где производная не определена, также следует учесть.

4. Найдите точки экстремума, пересекающиеся с графиком функции. Для этого найдите значения функции f(x) в точках, где производная равна нулю или не определена.

Обратите внимание, что в данной функции могут быть особые точки, такие как точки разрыва или значения x, при которых производная не определена. В таких случаях следует отдельно исследовать поведение функции и ее промежутки монотонности.

Для нахождения промежутков монотонности и точек экстремума функции y = (x + 2)^2(4 - x), необходимо сначала найти первую производную функции и затем определить критические точки. Затем можно провести тест для определения промежутков монотонности.

1. Найдите первую производную функции:

y' = d/dx [(x + 2)^2(4 - x)]
y' = d/dx [(x^2 + 4x + 4)(4 - x)]

Разложите факториал:
y' = d/dx [(x^2 + 4x + 4 - x^2)(4 - x)]
y' = d/dx [(x^2 - x^2 + 4x - x^2 + 4)(4 - x)]
y' = d/dx [-2x^2 + 3x + 4(4 - x)]

2. Определите критические точки, найдя точки, где первая производная равна нулю:

-2x^2 + 3x + 4(4 - x) = 0
-2x^2 + 3x + 16 - 4x = 0
-2x^2 - x + 16 = 0

Это нелинейное уравнение, и его решение может быть показано с помощью графика или численных методов. Решения этого уравнения дают нам критические точки:

x ≈ -1,62 и x ≈ 3,44

3. Определите знаки первой производной в критических точках и в концах промежутка:

x = -2, x = 0, x = 4 (концы промежутка)

y'(-2) = ...
y'(0) = ...
y'(4) = ...

4. Определите промежутки монотонности и точки экстремума:

a) Промежутки монотонности:

- Монотонность увелинения: y' > 0
- Монотонность уменьшения: y' < 0

b) Точки экстремума:

- Точки максимума: изменение знака первой производной (монотонность уменьшения -> монотонность увеличения)
- Точки минимума: изменение знака первой производной (монотонность увеличения -> монотонность уменьшения)

Найдите знаки первой производной в критических точках и в концах промежутка, а затем определите промежутки монотонности и точки экстремума. После этого вы можете провести график функции y = (x + 2)^2(4 - x) и проверить полученные результаты.