Найдите все такие тройки простых чисел p, q, r при которых выполняется следующее равенство:p-q+r=sqrt(p+q+r)

Ответ:

p=3, q=3, r=3

Пошаговое объяснение:

Дано: найти все тройки простых чисел p, q, r при которых выполняется p+r-q=\sqrt{p+r+q}.

Для начала, cделаем замену t=\sqrt{p+r+q}  и получим t^2-2q=t\rightarrow 2q=t^2-t\rightarrow 2q=t(t-1).

Заметим, что выражение t(t-1) в своём разложении на множители должно иметь два множителя, один из которых равен 2, а другой равен q. Следовательно, либо одно из чисел (t, t-1) равно 2, а другое простое, либо одно из них равно 1, а другое равно 2q.

Проверим все возможности:

1) t-1=1, t=2, 2\neq2q потому что 2:2 не простое \rightarrow не подходит;

2) t-1=1, t=2, 1 не простое число \rightarrow не подходит

3) t-1=2, t=3 \rightarrow подходит

Следовательно, 2q=t(t-1)=6, a q=t=3. Cделаем обратную замену:

\sqrt{p+r+q}=3\\\sqrt{p+r+3}=3\\p+r+3=3^2\\p+r+3=9\\p+r=6

Существует лишь одна пара простых чисел, которые равны 6. Это 3 и 3.

Следовательно, есть всего лишь одна такая тройка - все эти простые числа равны 3.