Найти производные указанных порядков функции () (показать поэтапно)

Ответ:

a) Почнемо з визначення перших та других похідних для функції \(y = 2x + 5 - 31n^2\):

1. Перша похідна:

\[y' = \frac{dy}{dx} = 2 - 62n \cdot \frac{dn}{dx}\]

2. Друга похідна:

\[y'' = \frac{d^2y}{dx^2} = -62 \cdot \left(\frac{dn}{dx}\right)^2 - 62n \cdot \frac{d^2n}{dx^2}\]

6) Тепер для функції \(y = x^3 - 5x^2 + 7x - 2\):

1. Перша похідна:

\[y' = \frac{dy}{dx} = 3x^2 - 10x + 7\]

2. Друга похідна:

\[y'' = \frac{d^2y}{dx^2} = 6x - 10\]

b) Для функції \(y = \sin^2x\):

1. Перша похідна:

\[y' = \frac{dy}{dx} = 2\sin x \cos x\]

2. Друга похідна:

\[y'' = \frac{d^2y}{dx^2} = 2(\cos^2 x - \sin^2 x)\]

р) Для функції \(y = (1 + 4x^2) \arctan(2x)\):

1. Перша похідна:

\[y' = \frac{dy}{dx} = 8x\arctan(2x) + \frac{1}{2x^2 + 1}\]

2. Друга похідна:

\[y'' = \frac{d^2y}{dx^2} = 8\arctan(2x) + \frac{16x^2}{(2x^2 + 1)^2} - \frac{4x}{2x^2 + 1}\]

д) Для функції \(y = e^{2x}\):

1. Перша похідна:

\[y' = \frac{dy}{dx} = 2e^{2x}\]

2. Друга похідна:

\[y'' = \frac{d^2y}{dx^2} = 4e^{2x}\]

е) Для функції \(y = e^{3x}\):

1. Перша похідна:

\[y' = \frac{dy}{dx} = 3e^{3x}\]

Для обчислення значення функції \(y\) при \(x = 9\):

\[y(9) = e^{3 \cdot 9} = e^{27}\]