1) Cos 4x=- √2/2 2) 3tg 3x= - √3 3) sin (x +4p)=0 4) 2cos²2x-1=sin4x

Давайте розв'яжемо ці рівняння:1) \( \cos{4x} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)Спочатку знайдемо аргументи косинуса, які відповідають значенню \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \) у проміжку \( [0, 2\pi] \). Це аргументи \( \frac{3\pi}{4} \) та \( \frac{5\pi}{4} \).Так як косинус має період \( 2\pi \), то загальний вигляд розв'язку буде: \[ 4x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \] або\[ 4x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n \]де \( n \) - ціле число.Розв'язавши для \( x \), ми отримаємо:\[ x = \frac{3\pi}{16} + \frac{\pi n}{2} \] або\[ x = \frac{5\pi}{16} + \frac{\pi n}{2} \]2) \( 3\tan{3x} = -\sqrt{3} \)Спочатку знайдемо аргументи тангенса, які відповідають значенню \( -\sqrt{3} \) у проміжку \( [0, 2\pi] \). Це аргументи \( \frac{5\pi}{3} \) та \( \frac{11\pi}{3} \).Так як тангенс має період \( \pi \), то загальний вигляд розв'язку буде:\[ 3x = \frac{5\pi}{3} + \pi n \] або\[ 3x = \frac{11\pi}{3} + \pi n \]де \( n \) - ціле число.Розв'язавши для \( x \), ми отримаємо:\[ x = \frac{5\pi}{9} + \frac{\pi n}{3} \] або\[ x = \frac{11\pi}{9} + \frac{\pi n}{3} \]3) \( \sin{(x + 4\pi)} = 0 \)Це рівняння має безліч розв'язків, оскільки синус знаходиться в нулі при будь-якому кратному \( 2\pi \).Отже, загальний вигляд розв'язку буде:\[ x = -4\pi + 2\pi n \]де \( n \) - ціле число.4) \( 2\cos^2{2x} - 1 = \sin{4x} \)Спочатку скористаємося тригонометричним тотожністю \( \cos^2{x} = 1 - \sin^2{x} \). Підставимо це в рівняння:\[ 2(1 - \sin^2{2x}) - 1 = \sin{4x} \]\[ 2 - 2\sin^2{2x} - 1 = \sin{4x} \]\[ 2\sin^2{2x} + \sin{4x} - 1 = 0 \]Позначимо \( t = \sin{2x} \), отримаємо квадратне рівняння:\[ 2t^2 + 2t - 1 = 0 \]Знайдемо його корені за допомогою квадратного рівняння, після чого знайдемо значення \( x \) за допомогою зворотного тригонометричного перетворення \( \sin^{-1}{t} \).