Площина, паралельна основі піраміди, ділить її висоту у відношенні 2 : 3 (від вершини до основи). Знайдіть площу перерізу, знаючи, що вона на 84 см2 менша від площі основи піраміди.

Пошаговое объяснение:

Нехай площа основи піраміди дорівнює S, а площа перерізу паралельної основі піраміди позначається як S'.

Згідно умови завдання, площа перерізу S' на 84 см^2 менша за площу основи (S), тобто S' = S - 84.

Також, розглянемо відношення довжини відрізка від вершини до перетину площини з висотою піраміди (х) до залишкової частини висоти піраміди (h - x), яка дорівнює 2 : 3.

Тоді за подібними трикутниками відомо, що співвідношення площ прямокутників, обмежених площинами паралельними основі піраміди, відноситься як квадрати відповідних сторін, отже (S' / S) = (x / (h - x))^2.

Маємо систему рівнянь:

1) S' = S - 84,

2) (S' / S) = (x / (h - x))^2.

Підставимо першу формулу в другу:

(S - 84) / S = (x / (h - x))^2.

Тепер підставимо відоме відношення довжини з умови задачі, а саме x : (h - x) = 2 : 3:

x = 2k, h - x = 3k, де k — деякий коефіцієнт.

Підставимо ці значення у рівняння:

(S - 84) / S = (2k / 3k)^2,

(S - 84) / S = 4/9.

З даного рівняння знаходимо S:

(S - 84) / S = 4/9,

9S - 756 = 4S,

5S = 756,

S = 151.2.

Отже, площа перерізу піраміди S' = 151.2 - 84 = 67.2 см^2.