Нехай точка О є серединою гіпотенузи АВ прямокутного

рівнобедреного трикутника АВС; ОР – перпендикуляр до площини

трикутника АВС, ОР=АВ=4см. Знайдіть відстані:

а) від точки Р до сторони АС;

б) від точки А до площини СОР;

в) від площини, що проходить через середини сторін АС і ВС паралельно ОР,

до площини АОР;

г) від точки О до площини РАС.

а) Поскольку треугольник АВС равнобедренный и прямоугольный, то AC = BC = 2√2 см. Так как точка О является серединой гипотенузы AB, то OC = AC/2 = √2 см. По теореме Пифагора, RO = √(AO²-OC²) = √(8-2) = √6 см. Данный полученный отрезок является высотой выпуклого четырехугольника АОРС. По свойству выпуклого четырехугольника, в котором проведена высота, расстояние от точки R до стороны АС будет также равно √6 см.

б) По теореме о трех перпендикулярах, расстояние от точки A до площини СОР равно расстоянию от точки A до прямой CO, проведенной в этой площине. У нас уже известна длина отрезка СO - это √2 см.

в) Расстояние от площин, проходящих параллельно друг другу, равно расстоянию между соответствующими точками этих площин. В нашем случае такое расстояние равно половине высоты OR, которую мы уже вычислили. То есть расстояние равно √6/2 см.

г) Расстояние от точки до площины является высотой треугольника для этой плоскости. В нашем случае нам нужно вычислить высоту тетраэдра АORC, вписанного в прямоугольный треугольник. У нас уже известна длина высоты OR = √6 см, значит и нужно узнать высоту от точки О до плоскости RAC. Но по условию задачи эта высота равна половине высоты OR, то есть это будет √6/2 см.