В треугольнике ABC проведены высоты BM и CN, O - центр окружности, касающейся стороны BC и продолжений сторон AB и AC. Известно, что BC=6, MN=3. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника BOC

Треугольники AMN и ABC подобные с коэффициентом |cos A|. Возможны два случая: 1) AM = AB cos A, AN = AC cos A, если угол A острый, то есть точки M, N лежат внутри сторон AC, AB; 2) AM = AB cos (180° − A) = −AB cos A, AN = AC cos (180° − A) = −AC cos A (косинус отрицательный), если угол A тупой, то есть точки M, N лежат на продолжениях сторон AC, AB; в первом случае угол A у треугольников общий, во втором — углы при вершине A вертикальные. Следовательно, |cos A| = MN/BC = ½, ∠A = 60° или 120°. Лучи BO и CO являются биссектрисами внешних углов треугольника ABC, поэтому ∠BOC = 180° − (∠OBC + ∠OCB) = 180° − ½(180° − ∠ABC + 180° − ∠ACB) = = ½(∠ABC + ∠ACB) = ½(180° − ∠A) = 90° − ½∠A. R(BOC) = BC/(2 sin BOC) = BC/(2 sin (90° − ½A)) = BC/(2 cos ½A). Если ∠A = 60°, то R(BOC) = 12/(2 cos 30°) = 4√3. Если ∠A = 120°, то R(BOC) = 12/(2 cos 60°) = 12.