Основанием пирамиды является ромб. Две боковые грани перпендикулярны к плоскости основания и образуют двугранный угол в 150°, а две другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 45°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если её высота равна 4 см.Нужен рисунок)

Ответ:

Sбок = 32(1 + √2) см²

Пошаговое объяснение:

Если две грани пирамиды перпендикулярны плоскости основания, то их общее ребро перпендикулярно плоскости основания.

Пусть ребро SB⊥(АВС). SB - высота пирамиды. Тогда

(SAB)⊥(ABC) и (SBC)⊥(ABC)

Если ребро SB перпендикулярно основанию, то оно перпендикулярно каждой прямой, лежащей в основании:

SB⊥AB, SB⊥BC, значит ∠АВС = 150° - линейный угол двугранного угла между гранями SAB и SBC.

Тогда ∠BAD в ромбе равен 30° (так как сумма углов, прилежащих к одной стороне ромба, равна 180°).

Проведем ВК⊥AD и ВН⊥CD. ВK и ВH - проекции наклонных SK и SH на плоскость основания, значит

SK⊥AD,  SH⊥CD по теореме о трех перпендикулярах.

Тогда ∠SKB = ∠SHB = 45° - линейные углы двугранных углов наклона двух других боковых граней к плоскости основания.

SB = 4 см.

Так как треугольники SBK  и SBH прямоугольные, равнобедренные, то ВК = ВН = SB = 4 см, а SK = SH = 4√2 см (как гипотенузы равнобедренных треугольников).

ΔАВК: (∠ВКА = 90°) ВК = 4 см, ∠А = 30°, тогда АВ = 2ВК = 8 см (по свойству катета, лежащего напротив угла в 30°).

Ssba = Ssbc = 1/2 · AB · SB = 1/2 · 8 · 4 = 16 см²

Ssad = Sscd = 1/2 · AD · SK = 1/2 · 8 · 4√2 = 16√2 см²

Sбок = Ssba + Ssbc + Ssad + Sscd = 2 · 16 + 2 · 16√2 = 32(1 + √2) см²