5. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы.

1 0 0

0 5 1

0 0 2

Исходная матрица имеет вид:

 (1;0;0;0;5;1;0;0;2))

Составляем систему для определения координат собственных векторов:

 (1 - λ)x1 + 0x2 + 0x3 = 0

0x1 + (5 - λ)x2 + 1x3 = 0

0x1 + 0x2 + (2 - λ)x3 = 0

Составляем  уравнение и решаем его:

EQ A = \b\bc\| (\a \al \co3 \hs3 (1 - λ;0;0;0;5 - λ;1;0;0;2 - λ)) = 0

λ3 + 8λ2 - 17λ + 10 = 0

Один из корней уравнения равен λ1 = 1

Тогда характеристическое уравнение можно записать как (λ  -1)(λ2 + 7λ - 10)=0.

- λ2 +7 λ - 10 = 0

D = 72 - 4 • (-1) • (-10) = 9

EQ λ1 = \f(-7+3;2•(-1)) = 2

EQ λ2 = \f(-7-3;2•(-1)) = 5

Рассмотрим пример нахождения собственного вектора для λ1.

Составляем систему для определения координат собственных векторов:

Подставляя λ = 1 в систему, имеем:

0x1 + 0x2 + 0x3 = 0

0x1 + 4x2 + 1x3 = 0

0x1 + 0x2 + 1x3 = 0

Пусть x1 - свободное неизвестное, тогда выразим через него все остальные xi.