Найдите все стороны четырехугольника,в который можно вписать окружность.Если 3 его

Найдите все стороны четырехугольника,в который можно вписать окружность.Если 3 его угла острые и равны A,B,C.Cторона прилежащая к углам A и B равна x.
- Предмет:
  Математика
- Автор:
  kianakramer
- 6 лет назад

Ответы 1

Если вам нужно выразить каждую сторону через $A,B,C,x$ , пришел к такому. Пусть у нас имеется четырехугольник $abcd$ . Соответственные углы равны $A,B,C$ , следовательно четвертый тупой угол $360-A-B-D$ $>90$ . По теореме о биссектрисе четырехугольника , утверждает что биссектрисы каждого угла пересекаются в центре вписанной окружности. Обозначим его $O$ . Пусть отрезки биссектрис равны из вершины $A,B,C,D$ соответственно $Q,W,Y,G$ . Радиус вписанной окружности $r$ . Так как радиус перпендикулярен касательной , по теореме Пифагора выразим каждый отрезок биссектрисы , используя то что углы будут равны $\frac{A}{2};\frac{B}{2};\frac{C}{2}; \ 180-\frac{A+B+C}{2}$ $\frac{r}{sin\frac{A}{2}}=Q\\\\ \frac{r}{sin\frac{B}{2}}=W\\\\ \frac{r}{sin\frac{C}{2}}=Y\\\\ \frac{r}{sin\frac{A+B+C}{2}}=G$ Пусть стороны равны $a,b,c,x$ Так как в четырехугольник можно вписать окружность $x+a=b+c$ По свойству, отрезки биссектрис в четырехугольнике $\frac{Q}{Y}=\frac{bx}{ac}\\\\ \frac{G}{W}=\frac{ab}{cx}$ Из условия выше получаем $\frac{sin\frac{B}{2}*sin\frac{A}{2}}{sin\frac{A+B+C}{2}sin\frac{C}{2}}*x=a\\\\ \frac{sin\frac{C}{2}*sin\frac{A+B+C}{2}}{sin\frac{A}{2}*sin\frac{B}{2}}*c=b\\\\$ так как $x+a=b+c\\\\ x+\frac{sin\frac{B}{2}*sin\frac{A}{2}}{sin\frac{A+B+C}{2}sin\frac{C}{2}}*x=\frac{sin\frac{C}{2}*sin\frac{A+B+C}{2}}{sin\frac{A}{2}*sin\frac{B}{2}}*c+c\\\\ c=\frac{x+\frac{sin\frac{B}{2}*sin\frac{A}{2}}{sin\frac{A+B+C}{2}sin\frac{C}{2}}*x}{{sin\frac{A+B+C}{2}}{sin\frac{A}{2}*sin\frac{B}{2}}+1}}$ его можно упростить , откуда можно выразить и остальные стороны
- Автор:
  pascual8zlj
- 6 лет назад
- 0
Добавить свой ответ