Найти объём тела,образованного вращением вокруг оси Ox фигур,ограниченных линиями.

 

[tex]y^2 = x ; x^2 = y[/tex]

y=√x

y=x^2

Найдем точки пересечения этих графиков

√x=x^2

x=0

x=1

при x=0 y=0

при x=1 y=1

то есть интегрировать будем от 0 до 1

Воспользуемся формулой

  v=pi *∫y^2dx от a до b

Найдем объем тела,образаваного вращением вокруг оси линии x^2=y

  v1=pi *∫xdx от 0 до 1 =pi*(x^2/2 от 0 до 1)=pi/2

Найдем объем тела,образоаваного вращением вокруг оси линии x=y^2

  v2=pi* ∫x^4dx  от 0 до 1 =pi *( x^5/5 от 0 до 1) = pi/5

Искомый объем равен

   v=v1-v2=pi/2-pi/5=3pi/10