в клетках таблицы 3 на 3 расставлены числа -1, 0, 1. Докажите что среди 8 сумм в строках, столбцах или на диагоналях таблицы найдутся две равные суммы.

Варианты возможных сумм:

-3 (если -1, -1, -1)

-2 (если -1,-1,0)

-1 (если -1, 0, 0)

 0 ( если -1, 0, 1  или  0, 0, 0)

и аналогично могут появиться суммы равные 1, 2, 3.

То есть всего 7 вариантов.

А в задаче мы рассматриваем 8 вариантов! То есть  один из вариантов обязательно повторится! Значит как минимум две суммы совпадут. Что и требовалось доказать!