• [tex] 19^{8^7} [/tex] Найдите последние три цифры числа

Ответы 2

  •  Три последние цифры ,  если рассматривать задачу как нахождение остатка , то  это задача на нахождения остатка    на1000.  19^{8^7}\equiv abc \ mod(1000)  Удобно воспользоватся теоремой Эйлера, для упрощения числа.  \phi(1000)=\phi(5^3*2^3)=100*4=400  То есть  19^{400}\equiv  1 \ mod (1000) Сама теорема, если a,m простые числа то  a^{\phi(m)}\equiv1  mod \ m
.   \phi(m) функция Эйлера .   Теперь найдем остатком от            \frac{8^7}{400}=\frac{2^{17}}{25}  то есть    2^{17}\equiv x mod(25)\\
x=22

   то есть сам остаток равен     22*16=352   , итого получаем    что число      8^7=(400*x+352)\\
19^{400x+352}=19^{400x}*19^{352}      Так как       19^{400}\equiv 1 mod 1000     То  задача эквивалента нахождению остатка  от число  19^{352}=x mod 1000     \frac{19^{350}*19^2}{2^3*5^3}    число  19  всегда оканчивается на  1   учтем ,     используя опять теореме Эйлера получим     19^{350}\equiv=1\\ mod 1000\\
,    тогда сам остаток равен     19^2=361    Ответ 361       
  • для начала посчитаем показатель степени 8^{7} =2097152последние три цифры в числе повторяются всегда при увеличении показателя степени на 10. Поэтому достаточно показатель степени разделить на 10 и посмотреть остаток.2097152:10 в остатке получим 2. Т.е. последние 3 цифры у числа19^{8^7} будут такими же что и у числа  19^{2} =361Ответ: 361
  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Войти через Google

или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years