В каждой клетке доски размером 5х5 сидел жук.Затем каждый жук переполз на соседнюю клетку.Докажите, что осталась хотя бы одна пустая клетка.

Раскрасим клетки доски в шахматном порядке так, чтобы черных клеток было 13, а белых 12. Заметим, что после переползания жуки, сидящие на белых клетках, оказались на чёрных клетках, а жуки, сидящие на чёрных клетках – на белых. Так как белых клеток на одну меньше, чем чёрных, после переползания по принципу Дирихле хотя бы одна чёрная клетка окажется пустой.