Почему слово по-новому пишется через тире?

Потому что это наречие. Вопрос (как?) - по-новому. Можно писать без тире, но тогда вопрос задаём от "по" (чему?) новому и меняется смысл. 

Сочетание по- ...ому/ему. Здесь "виноват" суффикс "ому".