Синтактический разбор предложения:
Новгородцы были большими любимцами писать письма.

Любимцами и Письма подчёркиваешь так "- - - - "

Новогородцы(сущ) были(глагол) большими (прил) любимцами(сущ) писать( глагол) письма (сущ) (Повест, невоскл, распр, сложное)