Почему в слове мединститут пишется И а не Ы.Напишите полное правило на это правописание.

правописание Ы И после приставок После приставок, оканчивающихся на согласную, вместо и пишется ы в соответствии с произношением, например: играть -- подыграть, разыграть, сыграть; искать -- отыскать, подыскать, разыскать: идейный -- безыдейный; индукционный -- безындукционный; интегральный -- подынтегральный; исторический -- предысторический; июльский -- предыюльский. Примечание 1. Данное правило не распространяется на сложносокращенные слова, например: пединститут, Госкомимущество, спортинвентарь. Примечание 2. В слове взимать пишется и согласно произношению. Примечание 3. После приставок меж- и сверх- сохраняется и, так как по общему правилу после шипящих и заднеязычных не пишется ы. Например: межинститутские соревнования, сверхизысканный, сверхиндустриализация. Также: двухимпульсный и т. п. Примечание 4. Сохраняется и после иноязычных приставок и частиц дез-, контр-, пост-, суб-, супер-, транс-, пан-. Например: дезинформация, контригра, постимпрессионизм, субинспектор, суперинтендант, трансиорданский, панисламизм. Ср. : предынфарктный -- постинфарктный (русская и иноязычная приставки) . При сочетании приставки, оканчивающейся на согласный, с корнем или с другой приставкой, которые начинаются с и, пишется, согласно с произношением, по общему правилу ы, например: розыск, предыдущий, возыметь, изымать (но: взимать, где произносится и) , подытожить, безыскусственный, сызнова, безыдейный, безынициативный, безынтересный, сымпровизировать, надындивидуальный, предыстория. Но пишется и: 1. В словах с приставками меж- и сверх-, например: межирригационный, сверхизысканный. 2. В словах с иноязычными приставками и частицами: пан-, суб-, транс-, контр- и т. п. , например: панисламизм, субинспектор, Трансиордания, конт