Нужно ли ставить запятую после слова "что" в предложении: "Писатель хочет сказать, что несмотря на простоту пейзажей, полотна Левитана покоряют сердца."

Да. Здесь нужна запятая. Т.к в данном тексте нам показывают что писатель хочет сказать, то есть запятая выступит как указание на речь писателя.