Схема с обозначениями:
Земля:
h₁ = 3h
g₁ = 9.8 м/с² (ускорение свободного падения на Земле)
Венера:
h₂ = h
g₂ = 8.87 м/с² (ускорение свободного падения на Венере)
Марс:
h₃ = 5h + 8
g₃ = 3.721 м/с² (ускорение свободного падения на Марсе)
Для каждого небесного тела решим поочередно задачу:
1. Земля:
Высота: h₁ = 3h
Время полета:
t₁ = √(2h₁ / g₁) = √(2 * 3h / 9.8) = √(6h / 9.8) = √(0.6122h) ≈ 0.7823√h
Средняя скорость движения:
v₁ = (h₁ / t₁) = (3h / 0.7823√h) = 3.8397√h
Скорость камня у поверхности:
v₁ = g₁ * t₁ = 9.8 * 0.7823√h ≈ 7.6484√h
Время, за которое камень пролетит последний метр:
t₁' = 1 / √(g₁ / (2h₁)) = 1 / √(9.8 / (2 * 3h)) = 1 / √(4.9 / h) = 1 / (2.213√h) ≈ 0.4516 / √h
2. Венера:
Высота: h₂ = h
Время полета:
t₂ = √(2h₂ / g₂) = √(2h / 8.87) = √(0.2251h) ≈ 0.4746√h
Средняя скорость движения:
v₂ = (h₂ / t₂) = (h / 0.4746√h) = 2.1062√h
Скорость камня у поверхности:
v₂ = g₂ * t₂ = 8.87 * 0.4746√h ≈ 4.2077√h
Время, за которое камень пролетит последний метр:
t₂' = 1 / √(g₂ / (2h₂)) = 1 / √(8.87 / (2h)) = 1 / √(4.435 / h) ≈ 0.4485 / √h
3. Марс:
Высота: h₃ = 5h + 8
Время полета:
t₃ = √(2h₃ / g₃) = √(2 * (5h + 8) / 3.721) = √(2.6895h + 4.2990) ≈ 1.639√(h + 1.5989)
Средняя скорость движения:
v₃ = (h₃ / t₃) = ((5h + 8) / 1.639√(h + 1.5989)) ≈ 3.0506√(h + 1.5989)
Скорость камня у поверхности:
v₃ = g₃ * t₃ = 3.721 * 1.639√(h + 1.5989) ≈ 6.100√(h + 1.5989)
Время, за которое камень пролетит последний метр:
t₃' = 1 / √(g₃ / (2h₃)) = 1 / √(3.721 / (2 * (5h + 8))) = 1 / √(1.8605 / (h₃ + 4)) ≈ 0.4724 / √(h + 1.5989)
Таким образом, для Земли:
- Время полета: t₁ ≈ 0.7823√h
- Средняя скорость движения: v₁ ≈ 3.8397√h
- Скорость камня у поверхности: v₁ ≈ 7.6484√h
- Время, за которое камень пролетит последний метр: t₁' ≈ 0.4516 / √h
Для Венеры:
- Время полета: t₂ ≈ 0.4746√h
- Средняя скорость движения: v₂ ≈ 2.1062√h
- Скорость камня у поверхности: v₂ ≈ 4.2077√h
- Время, за которое камень пролетит последний метр: t₂' ≈ 0.4485 / √h
Для Марса:
- Время полета: t₃ ≈ 1.639√(h + 1.5989)
- Средняя скорость движения: v₃ ≈ 3.0506√(h + 1.5989)
- Скорость камня у поверхности: v₃ ≈ 6.100√(h + 1.5989)
- Время, за которое камень пролетит последний метр: t₃' ≈ 0.4724 / √(h + 1.5989)