доказать что из равенства 1\а+1\в+1\с=1\(а+в+с) следует равенство 1\а^3+1\в^3+1\с^3=1\(а+в+с)^3

Не могу понять как это выражение можно преобразовать к виду A³+3(C-AB) или 〖(x+y+z)〗^3+3(xyz- (x+y+z)( xy+yz+xz). Направте пожалуйста на правильную мысль.

Раскрываем скобки пользуясь определением А, B, C:A^3=(x+y+z)^3==x^3+3*x^2*y+3*x^2*z+3*x*y^2+6*x*y*z+3*x*z^2+y^3+3*y^2*z+3*y*z^2+z^3; Дальше AB=(x+y+z)*(x*y+y*z+x*z)==x^2*y+x^2*z+x*y^2+3*x*y*z+x*z^2+y^2*z+y*z^2Подставляем это в выражение A³+3(C-AB). После приведения подобных все скоращается и остается только x³+y³+z³.

Т.е. для любых х,у,z мы доказали тождество x³+y³+z³=A³+3(C-AB).То, что C=AB - это дано по условию, т.к. это равносильно исходному условию 1\а+1\в+1\с=1\(а+в+с).

Вы зачем-то пустились в расрытие скобок в самом сложном выражении (C/B)³. У вас получилось монструозная формула, возможно и правильная, но чтобы доказать что она равна x³+y³+z³, вам надо в каком-то месте воспользоваться тем, что A=C/B, что совершенно не ясно как увидеть. Без испоьзования A=C/B равенство неверно. Я предалагаю не так. Вначале ЛЮБЫХ х,у,z доказываем тождество x³+y³+z³=A³+3(C-AB). А затем просто подставляем в него условие A=C/B. Собственно, именно это и написано в решении.

Огромное Вам спасибо

Обозначим x=1/a, y=1/b, z=1/c, а также A=x+y+z, B=xy+yz+xz; C=xyz.Тогда надо доказать, что из A=C/B следует x³+y³+z³=(C/B)³.Легко проверить простым раскрытием скобок, что для любых x,y,z верно тождество x³+y³+z³=A³+3(C-AB).Т.к. C=AB, то x³+y³+z³=A³=(C/B)³.