Начерти любой прямоугольник, проведи в нём диагонали. Докажи, что можно начертить окружность с центром в точке пересечения диагоналей, которая проходит через все вершины прямоугольника

 Т.к. Углы у него прямые, то стороны, имеющие одинаковые буквы, перпендикулярны, а другие - параллельны. Рассмотрим два треугольника: AOB и COD. Углы AOB и COD равны, (вертекильные), ABO=CDO( накрест лежащие), DCO=BAO( смежные).=> треугольники AOB и COD подобны. Но нам известно, что в AB и CD параллельны и заключены между двумя параллельными прямыми  =>AB = CD  =>треуг.  AOB и COD равны=>AO=CO. Если проделать то же самое с другими треугольниками, (BOC и AOD), то докажете, что все 4 отрезка равны, и поэтому откуржность, лежащяя в точке пересечения диагоналей и имеющая радиус рывный одному из отрезков, будет пересекать концы остальных  трех =>лежать на всех 4 углах прямоугольника.

Итак, наш любой прямоугольник - АВСД, точка О - точка пересечения диагоналей в нём.

Смотрим, одно из свойств вписанного в окружность четырёхугольника то, что сумма противолежащих углов - 180 градусов.

В данном случае - верно, угол А + угол С=Угол В+ угол Д=180 (град.) => около  этого 4хугольника можно описать окружность.

Докажем, что центр этой окружности - именно точка О.

Как известно, центром такой окружности должна быть точка, равноудалённая от всех вершин четырёхугольника. По свойствам диагоналей прямоугольника: АО=ОД=ВО=СО, всё верно, половина диагонали - это радиус окружности.

Вроде бы доказано:)