Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
[tex]y=\frac{16}{x^2}, \; y=2x, \; x=4.[/tex]
До этого решал только такие примеры, в которых есть два "x", и вторая "y" всегда рана 0. А решение такого примера с неизвестным значением второй "y" и с одним "x" встречаю впервые, поэтому не знаю как правильно решать, в моём учебнике нет объяснения. По одному примеру разобрался, чтобы решить надо сделать:
1. Найти точки пересечения функций y=16/x^2 и y=2x, эта точка будет второй "x";
2. Найти первообразные этих функций, вычислить площади по отдельности;
3. Отнять от площади второго площадь первого, т.е. S(2x) - S(16/x^2).
Получаю правильный ответ. Вот решение:
[tex]y=\frac{16}{x^2}, \; y=2x, \; x=4\\\\ \left \{ {y={\frac{16}{x^2}} \atop {y=2x}} ight. =\left \{ {2x={\frac{16}{x^2}} \atop {y=2x}} ight.=\left \{ {x^3={8} \atop {y=2x}} ight.=\left \{ {x={2} \atop {y=4}} ight.\\\\1)y=\frac{16}{x^2}\\ f (x)=-\frac{16}{x};\\S=-\frac{16}{4}-(-\frac{16}{2})=4;\\\\2)y=2x\\f(x)=x^2;\\S=4^2-2^2=12;\\\\12-4=8.[/tex]

Теперь вопросы.
1. Решая систему уравнений нашли "x", но также нашли "y" в системе. Что эта "y" даёт? Нужна ли она?
2. Почему мы именно от площади второго "y" отнимаем площадь первого "y"? Если переиначить этот вопрос: как понимать, какая "y" первая и какая вторая, т.е. как понимать от площади какой y отнимать площадь другого "y"?
3. В задании даётся один "x", самостоятельно находим второе. Но если находятся несколько корней функции при решении системы, то какую брать большую или меньшую? Показываю в следующем примере:

[tex]y=-\frac{3}{x^3}, \; y=-3x, \; x=-4\\\\ \left \{ {{y=-\frac{3}{x^3}} \atop {y=-3x}} ight. =\left \{ {{-3x=-\frac{3}{x^3}} \atop {y=-3x}} ight.=\left \{ {{x^4=1} \atop {y=-3x}} ight.=\left \{ {{x=\pm1} \atop {y=\pm3}} ight.\\\\y=-\frac{3}{x^3}\\f(x)=\frac{3}{2x^2};\\S=\frac{3}{2(-1)^2}-\frac{3}{2(-4)^2}=\frac{45}{32};\\\\y=-3x\\f(x)=-\frac{3x^2}{2};\\S=-\frac{3(-4)^2}{2} +\frac{3(-1)^2}{2}=\frac{45}{2};\\\\\frac{45}{2}-\frac{45}{32}=\frac{675}{32}=21\frac{3}{32}.[/tex]

Да, в данном примере не было разницы возьми я "+1" или "-1", т.к. во второй и четвертой степени любое неотрицательное меняется на положительное. Ну а если бы были разные корни у "x"? К примеру решая систему допустим получаю x1= 3, x2=5. Какую брать?

если вопросы остались---можно задавать)))

Страшную тему, тем более это задание, которое был уверен "не пойму" и только бы научиться решать, Вы мне так красиво и объяснили, что всё просто и ясно! На все мои вопросы ответили! В блокнотик записал как вопрос - ответ)

Благодарю!!!

рада была помочь))

ответ на последний вопрос: брать интеграл от (3) до (5)... или в условии задачи будет указано еще какое-то значение х, которое и подскажет---какое икс выбрать из двух найденных...)))ключевое слово: криволинейная трапеция ограничена ОСЬЮ ОХ и графиком функции)))пределы интегрирования от "левого" х до "правого" ха в данном примере было все равно брать х=-1 или х=1 т.к., фигуры, ограниченные осью ОХ и графиком, просто симметричны, только одна ПОД осью ОХ, вторая НАД осью ОХ...