сумма трех чисел, составляющих возрастающую геометрическую прогрессию, равна 70, а если из них вычесть соответственно 2, 8 и 24, то вновь полученные числа составят арифметическую прогрессию. Найти сумму первых двенадцати членов арифметической прогрессии

Из условия получим систему для нахождения b1 = b и q:

b(1 + q + q^2) = 70                                    b(1 + q + q^2) = 70      

(bq - 8) - (b - 2) = (bq^2 - 24) - (bq - 8)      b(1 - 2q + q^2) = 10

Разделим первое на второе:

(1 + q + q^2)/(1 - 2q + q^2) = 7

Умножив на знаменатель и приведя подобные члены, получим:

2q^2 - 5q + 2 = 0   D = 9   q1 = 0,5 - не подходит(прогрессия должна быть возрастающей); q2 = 2   тогда b = 10.

Теперь пользуясь условием, получим арифметическую прогрессию:

8, 12, 16,...    а1 = 8, d = 4.

Тогда сумма первых 12 членов:

S12 = [2a1 + d(n-1)]*n/2 = [16 + 44]*6 = 360.

Ответ: 360.

из условий задачи имеем систему уравнений

  x+xq +xq^2=70   (1)

  (x-2)+(xq^2-24)=2(xq-8) => x-2xq+xq^2=10   (2)

из  уравнения (1) вычтем  (2), получим

   3xq+60 =>xq=20 => x=20/q

Подставим это значение в (1)

 (20/q))*(1+q+q^2)=70

20+20q+20q^2=70q

20q^2-50q+20=0

2q^2-5q+2=0

D=b^2-4ac=25-16=9

q=(-b±sqrt(D))/2a

q1=(5+3)/4=2

q2=(5-3)/4=0,5 - побочное решение, так как прогрессия возрастает

Итак q=2, тогда

  x=20/q=20/2=10

то есть члены арифметическая прогрессии:

  (x-2)=8

   xq-8=12

   xq^2-24=16

для арифметической прогресии a1=8, d=4

S12=(2a1+d(n-1)*n/2=(2*8+4(12-1)*12/2=(16+44)*6= 360