При каких значениях A квадратные трехчлены x^2+ax+1 и x^2+x+a имеют общий корень?

Дискриминанты обоих уравнений должны быть неотрицательны:

a^2 - 4 >=0        a<=-2,  a>=2

1 - 4a >=0            a<=1/4            Общая область: a<= -2

Не будем писать выражения для корней (решение слишком громоздкое). Воспользуемся лучше теоремой Виета:

Пусть х и у  - корни первого уравнения, а х и z - корни второго. х - их общий корень. Тогда по теореме Виета имеем следующие уравнения для корней:

х + у = -а

ху = 1

x + z = -1

xz = a                Имеем систему 4 уравнений с 4 неизвестными.

Из первого вычтем третье, а четвертое поделим на второе.

y - z = 1 - a          y(1-a)= 1-a             y = 1  значит из второго:  х = 1

z/y = a                 z = ay                    

Подставив х и у в первое, получим 1 + 1 = - а,   а = -2.

Удовлетворяет ОДЗ для а.

Ответ: при а = -2.