Помогите решить уравнение. sin4 2x + cos4 2x = 5/8 В ответе указать ( в градусах) число корней на промежутке [0; 180] градусов.

Ответы 2

Пусть 2x = t ⇒ $\sin^4 t + \cos^4 t = \frac{5}{8}$
Используем формулы понижения степени
$(\frac{1-\cos2t}{2} )^{^2} + (\frac{1+\cos2t}{2} )^{^2}=\frac{5}{8} \\\frac{1-2\cos2t+\cos^22t+1+2\cos2t+\cos^22t}{4} =\frac{5}{8} \\\frac{2+2\cos^22t}{4} =\frac{5}{8} \\ 4+4\cos^22t=5\\ 4\cos^22t=1\\4*\frac{1+\cos4t}{2}=1\\ \cos4t=-\frac{1}{2} \\ 4t =б\ \frac{2\pi}{3} +2\pi k,\ k \in Z\\ 8x= б\ \frac{2\pi}{3} +2\pi k,\ k \in Z\\x= б\ \frac{\pi}{12} +\frac{\pi k}{4},\ k \in Z$
Для отбора корней на [0°; 180°] запишем в градусах: х = ±15°+45°k, k∈Z.
1) 15°+45°k, k∈Z ⇒ k=0;1;2;3 - 4 корня
2) -15°+45°k, k∈Z ⇒ k=1;2;3;4 - 4 корня
Итого 8 корней на [0°; 180°]
Ответ: 8
- Автор:
  chicken legs
- 6 лет назад
- 0
sin⁴2x+cos⁴2x=5/8(sin²2x+cos²2x)-2*sin²2x*cos²2x=5/81-(sin²4x)/2=5/82-sin²4x=5/4sin²4x=2-5/4sin²4x=3/4(1-cos8x)/2=3/41-cos8x=3/2cos8x=1-3/2cos8x=-1/28x=±2π/3+2πkx=±π/12++πk/4x=±15°+45°k0≤x≤180°0≤15°+45°k≤180°-15°≤45°k≤165°-1/3≤k≤3,7k={0;1;2;3;}x={15°;60°;105°;150°}0≤-15°+45k≤180°15°≤45°k<195°1/3≤k≤4,3k={1;2;3;4}x={30°;75°;120°;165°}ответ 8 корень
- Автор:
  branson
- 6 лет назад
- 0
Добавить свой ответ