Исследуйте функцию y=4x^6-3x^8+2

Найдем область определения функции. Функция y=4x^6-3x^8+2 определена для любого значения аргумента x, то есть D= (-бесконечность, +бесконечность).

Найдем производную функции: y'=24x^5-24x^7.

Чтобы найти экстремумы функции, приравняем производную к нулю:

24x^5-24x^7=0

24x^5(1-x^2)=0

x=0 или x=±1

Найденные значения являются точками экстремумов функции.

Найдем значения функции в этих точках:

y(0)=2

y(1)=-3

y(-1)=-3

Таким образом, точка (0, 2) является точкой максимума функции, а точки (1, -3) и (-1, -3) являются точками минимума функции.

Заметим, что коэффициент при старшей степени отрицательный, а значит, функция имеет "выпуклую" форму вниз.

Найдем точки пересечения графика с осями координат. Для этого решим уравнение y=0:

4x^6-3x^8+2=0

Полученное уравнение не имеет рациональных корней, поэтому точки пересечения графика с осями координат нельзя найти аналитически.

Построим график функции:

!график функции

Исходя из графика, можно сделать вывод, что функция является шестой степенью, ветви которой повернуты вниз. Точка максимума находится в точке (0, 2). Точки минимума находятся в точках (1, -3) и (-1, -3). График функции симметричен относительно вертикальной прямой, проходящей через точку (0, 2).