Исследовать функцию пожалуйста
y=3x^3+4x^2-2

Для того, чтобы исследовать функцию y = 3x^3 + 4x^2 - 2 на экстремумы, промежутки возрастания и убывания, точки перегиба и поведение функции на бесконечностях, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдем производную функции y:

y' = 9x^2 + 8x

2. Найдем точки пересечения графика функции с осью OX, приравняв y к нулю:

3x^3 + 4x^2 - 2 = 0

Решая это уравнение, можно найти три корня: x = -2/3, x = 0 и x = 1/3.

3. Построим таблицу знаков производной y' на интервалах между найденными корнями и за пределами этих корней:

| x | -∞ | -2/3 | 0 | 1/3 | +∞ |

|---------|-----|------|------|------|------|

| y' | - | - | + | + | + |

| y | ↓ | ↓ | ↓ | ↑ | ↑ |

| y'' | + | - | + | + | + |

4. Из таблицы знаков можно сделать вывод, что функция убывает на интервале (-∞, -2/3), имеет локальный минимум в точке x = -2/3, возрастает на интервале (-2/3, 0), имеет локальный максимум в точке x = 0, возрастает на интервале (0, 1/3), имеет точку перегиба в точке x = 0, и возрастает на интервале (1/3, +∞).

5. Найдем вторую производную функции y:

y'' = 18x + 8

6. Найдем значение второй производной в точке x = 0:

y''(0) = 8

Так как y''(0) > 0, то точка x = 0 является точкой минимума функции.

7. Исследуем поведение функции на бесконечностях. Если x стремится к бесконечности, то наиболее быстрорастущим слагаемым в функции y = 3x^3 + 4x^2 - 2 будет слагаемое 3x^3. Это значит, что функция будет расти быстрее, чем любая линейная функция, и можно сделать вывод, что график функции будет стремиться к бесконечности также быстро, как и график функции y = 3x^3.

Ответ:

Точки пересечения графика функции с осью OX: x = -2/3, x = 0 и x = 1/3.

Точки экстремума: локальный минимум в точке x = -2/3, локальный максимум в точке x = 0.

Промежутки возрастания: (0, 1/3) и (1/3, +∞).

Промежутки убывания: (-∞, -2/3) и (-2/3, 0).

Точка перегиба: x = 0.

Поведение функции на бесконечностях: график функции стремится к бесконечности также быстро, как и график функции y = 3x^3.