СРОЧНО:Докажите что сумма длин медиан треугольника больше его полупериметра но меньше периметра​

Рассмотрим треугольник ABC. Медиана, проходящая из вершины A, делит сторону BC пополам и пересекает противолежащую ей сторону в точке M.

Таким образом, AM является медианой треугольника ABC, и её длина равна половине длины стороны BC. Аналогично, можно определить медианы, проходящие из вершин B и C.

Полупериметр треугольника ABC равен:

s = (AB + AC + BC) / 2

Периметр треугольника ABC равен:

P = AB + AC + BC

Сумма длин медиан равна:

m = AM + BM + CM

Заметим, что в треугольнике ABC каждая медиана является меньшей, чем соответствующая сторона. Это легко увидеть, если вспомнить, что медиана делит сторону пополам.

Таким образом, можно записать следующие неравенства:

AM < BC

BM < AC

CM < AB

Сложим все три неравенства:

AM + BM + CM < AB + AC + BC = P

Таким образом, мы получили, что сумма длин медиан треугольника меньше его периметра.

Теперь докажем, что сумма длин медиан больше его полупериметра. Для этого воспользуемся теоремой о трех медианах:

m^2 = (3/4) (a^2 + b^2 + c^2)

где a, b и c - длины сторон треугольника, а m - длины медиан.

Таким образом, мы можем записать:

4m^2 = 3(a^2 + b^2 + c^2)

Так как a + b + c = 2s, то можно записать:

a^2 + b^2 + c^2 = 2s^2 - 2(ab + bc + ac)

Таким образом, мы можем переписать предыдущее равенство:

4m^2 = 3(2s^2 - 2(ab + bc + ac))

4m^2 = 6s^2 - 6(ab + bc + ac)

2m^2 + 3(ab + bc + ac) = 3s^2

2m^2 + 3P = 6s

2m^2 + 3P = 4s + 2s

2m^2 + 3P > 4s

Таким образом, мы получили, что сумма длин медиан больше его полупериметра.

Таким образом, мы доказали, что сумма длин медиан треугольника больше его полупер