найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции f(x) = \frac{ {x}^{3} }{12 + {x}^{2} } ​

Чтобы найти точки перегиба, а после уже и интервалы выпуклости и вогнутости, нам нужно взять вторую производную, приравнять к нулю и определить знаки на интервалах

f(x)=\frac{x^3}{x^2+12}\Rightarrow f'(x)=\frac{\left({x}^{3}\right)'\cdot \left({x}^{2}+12\right)-\left({x}^{2}+12\right)'\cdot {x}^{3}}{\left({{x}^{2}+12}\right)^{2}}=\dfrac{3\,{x}^{2}\,\left({x}^{2}+12\right)-2\,{x}^{4}}{\left({{x}^{2}+12}\right)^{2}}

f''(x)=\left(\dfrac{3\,{x}^{2}}{{x}^{2}+12}-\dfrac{2\,{x}^{4}}{\left({{x}^{2}+12}\right)^{2}}\right)'=\\=3\cdot \frac{\left({x}^{2}\right)'\cdot \left({x}^{2}+12\right)-\left({x}^{2}+12\right)'\cdot {x}^{2}}{\left({{x}^{2}+12}\right)^{2}}-2\cdot \frac{\left({x}^{4}\right)'\cdot \left({{x}^{2}+12}\right)^{2}-\left(\left({{x}^{2}+12}\right)^{2}\right)'\cdot {x}^{4}}{\left({{x}^{2}+12}\right)^{4}}=\\=\dfrac{3\,\left(2\,x\,\left({x}^{2}+12\right)-2\,{x}^{3}\right)}{\left({{x}^{2}+12}\right)^{2}}-\dfrac{2\,\left(4\,{x}^{3}\,\left({{x}^{2}+12}\right)^{2}-4\,{x}^{5}\,\left({x}^{2}+12\right)\right)}{\left({{x}^{2}+12}\right)^{4}}=\\=\frac{2x^3}{\left ( 12+x^2 \right )^2}-4x^3\cdot \frac{x^2+36}{\left ( 12+x^2 \right )^3}+2x\cdot \frac{x^2+36}{\left ( 12+x^2 \right )^2}=24x\cdot \frac{36-x^2}{\left ( 12+x^2 \right )^3}

f''(x)=0\Rightarrow 24x\cdot \frac{36-x^2}{\left ( 12+x^2 \right )^3}=0\Leftrightarrow 24x\left ( 36-x^2 \right )=0\Rightarrow x=\left \{ 0,\pm 6 \right \}

Мы всё подставляем во вторую производную!

Если подставить -1000, то получим положительное число, значит функция на (-\infty ,-6) вогнутая

Если подставить 1000, то получим отрицательное число, значит функция на (6,\infty) выпукла

Если подставить 1, то получим положительное число, значит функция на (0,6) вогнута

Если подставить -1, то получим отрицательное число, значит функция на (-6,0) выпукла