Знайдіть найбільше значення параметра а, при якому рівняння lg² (1+x²)+(3а-2)lg(1+ x²) +а² = 0 не має коренів.

Ответ:

Объяснение:

Спочатку, перетворимо рівняння, щоб воно було зручнішим для аналізу:

(lg(1+x²))² + (3a-2)lg(1+x²) + a² = 0

(lg(1+x²) + a)² = a² - 3a + 2  

Отримане рівняння має форму квадратного рівняння:

(y + a)² = b

де:

y = lg(1+x²)

a = -a

b = a² - 3a + 2

Квадратне рівняння не має дійсних коренів, якщо дискримінант D < 0:

D = b - 4ac = (a² - 3a + 2) - 4(-a)(a) = 5a² - 2a - 2

Для того, щоб дискримінант був негативним, 5a² - 2a - 2 < 0.

Розв'яжемо це нерівність:

(5a + 2)(a - 1) < 0

При a < -2/5 або a > 1, нерівність виконується.

Найбільше значення параметра a, при якому рівняння lg² (1+x²)+(3a-2)lg(1+ x²) +а² = 0 не має коренів, дорівнює a = 1.