Так как заря это яркая вспышка на горизонте, которая образовывается перед восходом и после захода солнца, то можно сделать вывод, что выражение \"заря догорает\" означает завершение этого процесса, когда солнце полностью встало или наоборот, полностью зашло за горизонт. Заря в это время медленно тускнеет (догорает).