расстояние между городами А и В равно 420 км. Из города А в город В выехал автомобиль, а через 2 часа 30 минут следом

Обозначим скорость автомобиля буквой а. На момент, когда мотоциклет выехал из пункта А, автомобиль успел проехать 2,5 * а (км). От данной точки до С и от С до пункта В автомобиль проедет за равные промежутки времени (так как мотоциклет доедет от А до С и от С до А за равное время). И так как скорость автомобиля постоянна, то расстояние от А до С больше расстояние от С до В на 2,5а км. 

Обозначим расстояние от С до В буквой х. То есть расстояние от А до С равно (х + 2,5а) км. Получится уравнение: (х + 2,5а) + х = 420; 2х + 2,5а = 420; 4х + 5а = 840.

Расстояние от А до С мотоциклет проедет за то же время, что и автомобиль от С до В:

(х + 2,5а)/65 = х/а.

ха + 2,5а² = 65х.

2ха + 5а² - 130х = 0.

Получилась система уравнений:

4х + 5а = 840.

2ха + 5а² - 130х = 0.

Решим методом подстановки:

4х = 840 - 5а; х = (840 - 5а)/4; х = 210 - 1,25а.

2а(210 - 1,25а) + 5а² - 130(210 - 1,25а) = 0.

420а - 2,5а² + 5а² - 27300 + 162,5а = 0.

2,5а² + 582,5а - 27300 = 0.

5а² + 1165a - 54600 = 0.

D = 1357225 + 1092000 = 2449225 (√D = 1565);

а₁ = (-1165 - 1565)/10 = -1365 (не подходит);

а₂ = (-1165 + 1565)/10 = 400/10 = 40 (км/ч) - скорость автомобиля.

Расстояние от С до В  равно: х = 210 - 1,25а = 210 - 1,25 * 40 = 210 - 50 = 160 (км).

Значит, растсояние от А до С равно 420 - 160 = 260 (км).