Равнобедренный треугольник АВС, АС=СВ, СН-высота, АВ=40, синус внешнего угла А равен 0,6. Найти АС.

1. Дано: http://bit.ly/RavBedTrsinA06.
2. Требуется определить АС.
3. Согласно условия задания, треугольник AСВ является равнобедренным треугольником АС = СВ.
4. Ясно, что углы САН и CAD являются смежными углами. Согласно теореме о смежных углах ∠САН + ∠CAD = 180°, откуда ∠САН = 180° – ∠CAD. Воспользуемся следующей формулой приведения: sin(180° – α) = sinα. Имеем sin∠САН = sin(180° – ∠CAD) = sin∠CAD = 0,6.
5. Поскольку, СН – высота, то СН ┴ АВ. Высота треугольника AСВ, опушенная с вершины С на основание АВ является и биссектрисой, и медианой. Тогда, АН = АВ / 2 = 40 / 2 = 20.
6. Поскольку СН ┴ АВ, то ∠СНA = 90°. Следовательно, треугольник СНA является прямоугольным треугольником. Тогда, по определению синуса, sin∠САН = СН / АС, откуда СН = АС * sin∠САН = 0,6 * АС.
7. По теореме Пифагора, АС² =  AН² + СН² = 20² + (0,6 * АС)² или  АС² – 0,36 * АС² = 400, откуда АС = √(400 : 0,64) = 16.

Ответ: АС = 16.