число 9 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы произведение квадрата одного из них на утроенное

1) Пусть первое число равно х, тогда второе число будет равно (9 - х), так как сумма их равна 9.

Квадрат первого числа равен x², утроенное второе число равно 3(9 - х).

Выразим их произведение: х² * 3(9 - х) = 3х²(9 - х) = 27x² - 3х³.

Найдем значение х, при котором это произведение будет наибольшим, через производную:

(27x² - 3х³)\' = 54х - 9х².

Найдем нули производной:

54х - 9х² = 0.

9х(6 - х) = 0.

х = 0 и х = 6.

Определим точку максимума:

(-∞; 0) пусть х = -1: 54 * (-1) - 9 * (-1)² = -54 - 9 = -63 (-) функция убывает.

(0; 6) пусть х = 1: 54 * 1 - 9 * 1² = 54 - 9 = 45 (+) функция возрастает.

(6; +∞) пусть х = 7: 54 * 7 - 9 * 7² = 378 - 441 = -63 (-) функция убывает.

Значит, х = 6 - это максимум функции.

То есть первое число равно 6, а второе равно 9 - 6 = 3.

Ответ: 9 = 6 + 3.

2) Доп. задание.

Сначала упростим функцию:

f(x) = 2sinxsin(п/2 + x) + 3,2x = 2sinxcosx + 3,2x = sin(2x) + 3,2x.

Вычислим производную функции:

f\'(x) = (sin(2x) + 3,2x)\' = cos(2x) * (2x)\' + 3,2 = 2cos(2x) + 3,2.

Определим знак производной на всем протяжении. Максимальное значение косинуса (любого угла) может быть только равно 1:

2cos(2x) + 3,2 = 2 * 1 + 3,2 = 5,2 (+).

Косинус может равняться 0: 2 * 0 + 3,2 = 3,2 (+).

Минимальное значение косинуса может быть (-1): 2 * (-1) + 3,2 = 1,2 (+).

То есть производная положительна при любом значении х. То есть функция возрастает при любом значении х (х = R).