6. Все члены геометрической прогрессии – различные натуральные числа, заключенные между числами 210 и 350. а) может ли

   1. Для N = 4 укажем решение:

      q = 7/6;

• b1 = 6^3 = 216;
• b2 = b1 * q = 6^3 * 7/6 = 6^2 * 7 = 252;
• b3 = b2 * q = 6^2 * 7 * 7/6 = 6 * 7^2 = 294;
• b4 = b3 * q = 6 * 7^2 * 7/6 = 7^3 = 343.

   2. Рассмотрим случай N = 5. Поскольку члены прогрессии - натуральные числа, то знаменатель можно представить в виде несократимой дроби:

      q = m/n, где m и n - взаимно простые числа.

   Тогда получим:

      b5 : b1 = q^4 = (m/n)^4.

   Очевидно, один из членов прогрессии содержит четвертую степень m, а другой - четвертую степень n. Следовательно, они удовлетворяют условиям:

• m^4 ≤ 350;
• n^4 ≤ 350, или

• m ≤ 4; (1)
• n ≤ 4. (2)

   3. Если рассмотрим возрастающую прогрессию, то получим:

• q^4 = b5/b1 ≤ 350/210 = 5/3;
• q ≤ (5/3)^(1/4) < 1,2. (3)

   Учитывая условия (1) и (2), и что m > n, возможны следующие несократимые дроби:

• a) n = 1 => q > 1,2;
• b) n = 2, m = 3 => q = 3/2 > 1,2;
• c) n = 3, m = 4 => q = 4/3 > 1,2.

   Ни одно значение не удовлетворяет условию (3), значит, для N = 5 нет решения.

   Ответ:

• a) может;
• b) не может.