В ромб вписана окружность радиуса r. Найдите площадь ромба,если его большая диагональ равна 4r

Пусть сторона ромба а, большая диагональ d₁, мегьшая диагональ d₂, высота ромба - h. 

Известно, что высота ромба равна диаметру вписанной в него окружности, значит: 

h = 2r. 

По условию, d₁ = 4r. 

Площадь ромба можно найти следующими способами: 

1) Как произведение стороны ромба на высоту: 

S = a * h = a * 2r. 

2) Как половину произведения диагоналей: 

S = 0,5 * d₁ * d₂ = 0,5 * 4r * d₂ = 2r * d₂. 

Приравнивая эти два выражения, получаем: 

a * 2r = 2r * d₂; 

а = d₂. 

Диагонали ромба перпендикулярны друг другу и в точке пересечения делятся пополам. Для прямоугольного треугольника, образованного половинами диагоналей и стороной ромба, можем записать: 

a² = (d₁ / 2)² + (d₂ / 2)² = (2r)² + (a / 2)² = 4r² + a² / 4; 

3a² = 16r²; 

a² = 16r² / 3; 

a = 4r / √3. 

Площадь ромба: S = a * h = 4r * 2r / √3 = 8r² / √3.