В треугольнике ABC биссектриса BD делит сторону AC на отрезки ADравное 27см, и DC равное 21 см, угол ADB равен углу ABC

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2qteGeF).

В треугольнике ВСД угол ВДС = 180 – АДВ = 180 – 2 * ДВС.

Тогда угол ДСВ = 180 – ВДС – ДВС = 180 – (180 – 2 * ДВС) – ДВС = ДВС.

Угол ДСВ = ДВС, следовательно треугольник СДВ равнобедренный, ВД = СД = 21 см.

Треугольники АВС и АВД подобны по двум углам. Угол АВС = АДВ, угол АСВ = АВД. Тогда АВ / АД = АС / АВ

АВ² = 27 * (27 + 21) = 1296.

АВ = 36 см.

По свойству биссектрисы треугольника, отрезки, на которые она разбивает сторону треугольника, пропорциональны прилегающим сторонам.

АВ / АД = ВС / ДС.

36 / 27 = ВС / 21.

ВС = 36 * 21 / 27 = 28 см.

Определим площадь треугольника по теореме Герона.

S = √р * (р – АВ) * (р – ВС) * (р – АС), где р – полупериметр треугольника.

Р = (АВ + ВС + АС) / 2 = (36 + 28 + 48) / 2 = 56 см.

S = √56 * (56 – 36) * (56 – 28) * (56 – 48) = √56 * 20 * 28 * 8 = √250880 = 224 * √5 см².

Ответ: Площадь треугольника равна 224 * √5 см².