Высота правильной треугольной призмы равна Н.Прямая проходящая через центроид основания и середину стороны нижнего основания,

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2RFjSbR).

Из прямоугольного треугольника ОО1Н определим отрезок ОН.

ОН = ОО1 * Ctgα = H * Ctgα.

Так как треугольник АВС равносторонний, то точка О делит высоту ВН на отрезки ВО и НО, относящиеся как 2 /1, тогда высота ВН = 3 * H * Ctgα.

Высота равностороннего треугольника определяется по формуле: ВН = АВ * √3 / 2, тогда

АС = 2 * ВН / √3 = 2 * 3 * H * Ctgα / √3 = 2 * √3 * H * Ctgα.

Определим площадь основания.

Sосн = ВН * АС / 2 = 3 * H * Ctgα * 2 * √3 * H * Ctgα / 2 = 3 * √3 * Н² * Ctg²α.

Определим площадь боковой грани.

Sбок = АА1 * АС = Н * 2 * √3 * H * Ctgα = 2 * √3 * H² * Ctgα.

Определим полную площадь призмы.

Sпол = 2 * Sосн + 3 * Sбок = 2 * 3 * √3 * Н² * Ctg²α + 3 * 2 * √3 * H² * Ctgα = 6 * √3 * Н² * Ctg²α + 6 * √3 * Н² * Ctgα = 6 * √3 * Н² * Ctgα * (Ctgα + 1) см².

Ответ: Полная площадь поверхности призмы равна 6 * √3 * Н² * Ctgα * (Ctgα + 1) см².