ABCD - квадрат со стороной а. Вершины С, А и В являются серединами отрезков ВМ ND и DF соответственно. Найдите радиус

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/2sioCMG).

Рассмотрим треугольники АВД и КFВ, которые прямоугольные и катет АД = КВ = а см, гипотенузы ВД = FВ, тогда треугольники АВД и КFВ равны по катету и гипотенузе. Тогда КF = АВ = а см.

Отрезок KF = KN = a см, точка К – середина FN. Треугольники МКF и МКN прямоугольные и равны по катету и гипотенузе. Длина отрезка КМ = 3 * а см.

Определим площадь треугольника МКF. Sмкf = FK * MK / 2 = 3 * a / 2.

Тогда Smnf = 2 * а * 3 * a / 2 = 3 * a² см².

В прямоугольном треугольнике КМF, по теореме Пифагора, FM² = KM² + FK² = 9 * a² + a² = 10 * a².

FM = a * √10 см.

Определим радиус описанной окружности.

R = FN * FM * MN / 4 * Smnf = 2 * а * а * √10 * а * √10 / 4 * 3 * а² = 20 * а³ / 12 * а² = 5 * а / 3 см.

Ответ: Радиус описанной окружности равен 5 * а / 3 см.