Pасстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 19, а одна из диагоналей ромба равна 76.

Чертеж к задаче по ссылке: https://bit.ly/2IBi0es.

Отрезок ОМ - это перпендикуляр, проведенный к стороне ВС, поэтому треугольник ОМВ - прямоугольный.

По условию ОМ = 19.

Диагональ ВД по условию равна 76.

В ромбе точка пересечения диагоналей делит их пополам, поэтому отрезок ОВ = 76 : 2 = 38.

В прямоугольном треугольнике sin острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

ОМ - противолежащий катет, ОВ - гипотенуза, значит:

sin ∠ 1 = ОМ/ОВ.

sin ∠ 1 = 19/38.

sin ∠ 1 = 1/2. 

Отсюда следует, что ∠ 1 равен 30^о.

∠ 2 = ∠ 1, потому что диагональ ВД является биссектрисой. 

∠ АВС = ∠ 1 + ∠ 2 = 30^о + 30^о = 60^о.

∠ АДС = ∠ АВС = 60^о (так как у ромба противоположные углы равны).

Значит равны и углы ВАД и ВСД как противоположные.

Сумма всех углов ромба равна 360^о. Значит, ∠ ВАД + ∠ ВСД = 360^о - (60^о + 60^о) = 240^о.

Тогда ∠ ВАД = ∠ ВСД = 240^о  : 2 = 120^о.

Ответ: ∠ АВС = 60^о; ∠ АДС = 60^о; ∠ ВАД = 120^о; ∠ ВСД = 120^о.