В трапеции ABCD длины оснований AD и BC относятся как 8 : 1. В трапецию вписана окружность, которая касается боковой

Чертёж к задаче: https://bit.ly/2JLENcO

1) Обозначим точки касания окружностью сторон BC, AB, AD за L, M, N соответственно.2) По теореме о двух пересекающихся касательных к одной окружности имеем: CK = CL = 5x, DK = DN = 4x. Также пусть BC = y, AD = 8y. 3) Проведём CH ⊥ AD, BP ⊥ AD, а также LN. Заметим, что LN ⊥ AD (прямая, проходящая через центр вписанной окружности и точки касания ею оснований). Тогда NLCH - прямоугольник, в нём CL = NH = 5x. Тогда DH = NH - DN = 5x - 4x = x. 4) Тогда имеем по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике CDH: CH² = CD² - DH² = (5x + 4x)2 - x² = 81x² - x² = 80x², то есть CH² = 80x2.5) BCHP - прямоугольник, в нём BC = HP = y. Тогда AP = AD - PD = 8y - (y - x) = 7y + x.6) Имеем по теореме о четырёхугольнике, в который вписана окружность: AB + CD = AD + BC, y + 8y = AB + 9x, откуда AB = 9y - 9x.7) Имеем по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ABP: AB² = AP² + BP², (9y - 9x)² = (7y + x)² + 80x² (BP = CH), откуда получаем: 32y² = 176yx, откуда получаем, что: y = 5,5x.8) Тогда имеем: AB = 9 * 5,5x - 9x = 40,5x и AB / CD = 40,5x / 9x = 9 : 2.ОТВЕТ: 9 : 2.