Решение задачи на олимпиаду.

Давайте представим два квадратных трёхчлена следующим образом:

1. Первый квадратный трёхчлен: ax^2 + bx + c
2. Второй квадратный трёхчлен: cx^2 + bx + a

Где a и c - коэффициенты перед x^2, b - коэффициент перед x.

Теперь давайте рассмотрим их сумму:

(ax^2 + bx + c) + (cx^2 + bx + a) = (a + c)x^2 + 2bx + (a + c)

Мы знаем, что многочлен равен 0 имеет единственный корень, и пересекает ось ординат в точке 8.0. Это означает, что у нас есть следующее уравнение:

(a + c) = 0
a + c = 8

Из этих двух уравнений мы можем выразить a и c:

a = -c
-с + c = 8

Теперь мы можем найти значение c:

c - c = 8
0 = 8

Это уравнение не имеет решения, что означает, что такие квадратные трёхчлены не могут создать многочлен с указанными свойствами. Вероятно, в задаче допущена ошибка.

Для решения данной задачи, нам необходимо найти два различных квадратных трёхчлена, которые отличаются только перестановкой старшего коэффициента и свободного члена, и их сумма имеет единственный корень и пересекает ось ординат в точке 8.0.

Первый квадратный трёхчлен можно записать в виде: f(x) = ax^2 + bx + c
Второй квадратный трёхчлен будет иметь следующий вид: g(x) = cx^2 + bx + a

Где a, b и c - различные коэффициенты.

Сумму этих двух многочленов можно записать как: h(x) = f(x) + g(x) = (a + c)x^2 + 2bx + (a + c)

Из условия задачи известно, что многочлен h(x) имеет единственный корень и пересекает ось ординат в точке 8.0.

Так как многочлен имеет только один корень, то его дискриминант равен 0: b^2 - 4ac = 0
Также мы знаем, что h(x) пересекает ось ординат в точке (0, 8), поэтому подставляем x = 0 в уравнение h(x):

h(0) = (a + c)(0)^2 + 2b(0) + (a + c) = a + c = 8

Исходя из этих двух уравнений, мы можем выразить b через a и c.

Используя уравнение дискриминанта и выражение для b, получим:
(2b)^2 - 4(a + c)c = 0
4b^2 - 4c^2 - 4ac = 0
b^2 - ac - c^2 = 0

Заменим a + c на 8: b^2 - 8c - c^2 = 0

Теперь имеем систему уравнений:
b^2 - ac - c^2 = 0
b^2 - 8c - c^2 = 0

Решим систему численно:

1) Найдем значение b из второго уравнения:
b^2 - 8c - c^2 = 0
Подставим c = 8 - a:
b^2 - 8(8 - a) - (8 - a)^2 = 0
b^2 - 64 + 8a - 64 + 16a - a^2 = 0
b^2 + 24a - a^2 - 128 = 0

2) Подставим это значение b в первое уравнение:
(b^2 - ac - c^2) = 0
((b^2 + 24a - a^2 - 128) - a(8 - a) - (8 - a)^2) = 0
(-a^2 + 28a - 128) + a(8 - a) - (8 - a)^2 = 0
-a^2 + 28a - 128 + 8a - a^2 - 64 + 16a - a^2 = 0
-3a^2 + 44a - 192 = 0

Теперь можно решить это квадратное уравнение и найти значения a.

После нахождения значений a, b и c, мы сможем записать исходные трехчлены, найти их пересечение и вычислить расстояние между точками пересечения графиков этих двух квадратных трёхчленов.