Помогите, пожалуйста, решит задачу по атомной физике

Для частицы массой (m), движущейся по окружности длиной (l), разрешенные уровни энергии можно определить с использованием квантовой механики. Один из подходов к решению этой задачи основывается на квантовании момента импульса.

Уровни энергии частицы, движущейся по окружности, связаны с её кинетической и потенциальной энергией. Общая энергия (E) может быть записана как сумма кинетической и потенциальной энергии:

[E = T + U]

Где:
(T) - кинетическая энергия частицы,
(U) - потенциальная энергия частицы.

Для частицы, движущейся по окружности, потенциальная энергия равна нулю, так как потенциальная энергия зависит от вертикальной высоты, а в данном случае частица движется по окружности.

Таким образом, у нас остается только кинетическая энергия:

[T = \frac{1}{2} m v^2]

где
(v) - скорость частицы.

Скорость частицы, движущейся по окружности длиной (l), можно выразить через радиус окружности ((r)) и период обращения ((T)) следующим образом:

[v = \frac{2\pi r}{T}]

Таким образом, выразим кинетическую энергию через радиус и период обращения:

[T = \frac{1}{2} m \left(\frac{2\pi r}{T}ight)^2]

Теперь у нас есть выражение для кинетической энергии. Для определения разрешенных уровней энергии ((E_n)), мы можем использовать квантование момента импульса. Квантование момента импульса означает, что момент импульса частицы (L) ограничен целыми кратными числами (n) относительно постоянной Планка ((h)):

[L = n \cdot \frac{h}{2\pi}]

Момент импульса частицы можно выразить как произведение массы, радиуса и скорости:

[L = m \cdot r \cdot v]

Подставим в это выражение значение (v):

[L = m \cdot r \cdot \frac{2\pi r}{T}]

Теперь используем квантование момента импульса:

[m \cdot r \cdot \frac{2\pi r}{T} = n \cdot \frac{h}{2\pi}]

Теперь мы можем выразить (T) через (n):

[T = \frac{2\pi^2 m r^2}{n \cdot h}]

И подставим это значение в выражение для кинетической энергии (T):

[E = \frac{1}{2} m \left(\frac{2\pi r}{T}ight)^2 = \frac{1}{2} m \left(\frac{2\pi r}{\frac{2\pi^2 m r^2}{n \cdot h}}ight)^2 = \frac{1}{2} m \left(\frac{n \cdot h}{2\pi^2 m r}ight)^2]

Таким образом, разрешенные уровни энергии частицы (E_n) зависят от квантового числа (n) и массы частицы (m), а также радиуса окружности (r) и постоянной Планка (h):

[E_n = \frac{n^2 \cdot h^2}{8\pi^2 m r^2}]

Это выражение показывает, как разрешенные уровни энергии зависят от параметров системы. Квантование момента импульса приводит к дискретизации энергетических уровней частицы, и уровни энергии определяются целыми числами (n).

Если нужна помощь с ДЗ - обращайся сюда