1. Через середину E гипотенузы AВ прямоугольного треугольника АВС проведен к его плоскости перпендикуляр ЕМ, равный 4√5см. АС=ВС, АС=16см, угол С=90°.
Вычислите
а) расстояние от точки М до прямой АС;
б) площади треугольника АСМ и его проекции на плоскость данного треугольника;
в) расстояние между прямыми ЕМ и ВС.
2. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, основание которого квадрат. АС=6√2 см, AB1=4√3 см.
Вычислите градусную меру двугранного угла B1ADB.

1.а) Пусть Н - середина АС, тогда ЕН - средняя линия ΔАВС, ЕН║СВ, ⇒ ЕН⊥АС.ЕН - проекция наклонно МН на плоскость АВС, значит иМН⊥АС по теореме о трех перпендикулярах.Значит МН - искомое расстояние от точки М до прямой АС.ЕН = ВС/2 = 16/2 = 8 смΔМЕН: ∠МЕН = 90°, по теореме Пифагора             МН = √(МЕ² + ЕН²) = √(80 + 64) = √144 = 12 смб) Sacm = 1/2 ·AC · MH = 1/2 · 16 · 12 = 96 см²ΔАСЕ - проекция ΔАСМ на плоскость АВС.Sace = 1/2 ·AC · EH = 1/2 · 16 · 8 = 64 см²в) ВС ⊂ АВС, ЕМ ∩ АВС = Е, Е ∉ ВС, ⇒ЕМ и ВС - скрещивающиеся.Пусть К - середина ВС, тогда ЕК - средняя линия ΔАВС,ЕК║АС, значит ЕК⊥ВС.МЕ⊥ЕК, так как МЕ ⊥АВС, а ЕК ⊂ АВС.ЕК - перпендикуляр и двум скрещивающимся прямым, значитЕК - искомое расстояние между прямыми МЕ и ВС.ЕК = АС/2 = 16/2 = 8 см (как средняя линия ΔАВС)2. AВ⊥АD, так как ABCD - квадрат.АВ - проекция АВ₁ на плоскость основания, значитАВ₁⊥AD по теореме о трех перпендикулярах.∠В₁АВ - линейный угол двугранного угла В₁ADB - искомый.Пусть а - ребро основания.Из прямоугольного треугольника АВС по теореме Пифагора:а² + а² = 722а² = 72а² = 36а = 6 смΔВ₁АВ: ∠В₁ВА = 90°,                cos∠В₁АВ = AB/AB₁               cos∠В₁АВ = 6 / (4√3) = 3 / (2√3) = 3√3 / 6 = √3/2               ∠В₁АВ = 30°