Чему равно наименьшее значение

Чему равно наименьшее значение выражения

[tex]\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{x^2-x\sqrt{3}+1}[/tex]?

Использование производной не приветствуется
- Предмет:
  Геометрия
- Автор:
  leandronewman
- 5 лет назад

Ответы 6

Не знаю, кто ее придумал, но нашел я ее у Шарыгина
- Автор:
  kristen
- 5 лет назад
- 0
Великий геометр )
- Автор:
  figgy7exi
- 5 лет назад
- 0
даже я, нематематик, знаю эту фамилию
- Автор:
  geniusbcbu
- 5 лет назад
- 0
Согласен. Я провел несколько счастливых лет, решая задачи из его задачника "От учебной задачи к творческой"
- Автор:
  matias9lxc
- 5 лет назад
- 0
вероятно, ощущения суперские )
- Автор:
  karley
- 5 лет назад
- 0
Выделим полные квадраты в подкоренных выражениях: $x^{2} - x + 1 = x^{2} - 2 * \frac{1}{2} x + 1 = x^{2} - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + 1 = (x^{2} - x + \frac{1}{4} ) + \\ \frac{3}{4} = (x - \frac{1}{2}) ^{2} + \frac{3}{4}$ $x^{2} - \sqrt{3} x + 1 = (x^{2} - 2 * \frac{ \sqrt{3} }{2} x + \frac{3}{4}) - \frac{3}{4} + 1 = (x - \frac{ \sqrt{3} }{2}) ^{2} + \frac{1}{4}$ Для решения задачи используем векторную интерпретацию функции.Пусть вектор a $= \{x - \frac{ 1 }{2} , \frac{ \sqrt{3} }{2} \}$ , а вектор b $= \{-x + \frac{ \sqrt{3} }{2} , \frac{1}{2} \}$ Здесь векторы заданы своими координатами. Найдём координаты суммы этих векторов. a + b = $\{ \frac{ \sqrt{3} - 1 }{2} , \frac{ \sqrt{3} + 1}{2} \}$ Тогда его длина $|a + b| = \sqrt{ (\frac{ \sqrt{3} - 1 }{2})^{2} + ( \frac{ \sqrt{3} + 1}{2})^{2} } = \frac{ \sqrt{8} }{ 2 } = \sqrt{2}$ Найдём длины каждого из введённых векторов. Очевидно, что они равны первому и второму слагаемым соответственно: $|a| = \sqrt{ (x - \frac{1}{2}) ^{2} + \frac{3}{4}} \\ |b| = \sqrt{(x - \frac{ \sqrt{3} }{2}) ^{2} + \frac{1}{4} }$ А теперь воспользуемся неравенством треугольника для двух векторов. А именно, $|a + b| \leq |a| + |b|$ Это неравенство обращаем остриём вправо: $|a| + |b| \geq |a+b|$ Наше выражение - это ни что иное, как сумма длин введённых векторов. Справа стоит длина суммы векторов, которую мы знаем.Отсюда получаем наименьшее значение функции: $\sqrt{ x^{2} - x + 1} + \sqrt{ x^{2} - \sqrt{3} x + 1} \geq \sqrt{2}$ Необходимо найти теперь точку, в которой достигается это наименьшее значение.Проще всего это сделать из нашего же неравенства треугольника. В нужной точке, разумеется, достигается равенство. Равенство в неравенстве треугольника достигается при условии сонаправленности векторов.Воспользуемся им.Замечаем, что вторая координата первого вектора в корень из 3 раз больше соответствующей координаты второго. У сонаправленных векторов координаты пропорциональны. Значит, $x - \frac{1}{2} = \sqrt{3}(-x + \frac{ \sqrt{3} }{2} )$ Решая это уравнение, мы получаем, что $x = \frac{2}{1 + \sqrt{3} }$ В этой точке достигается наименьшее значение функции.
- Автор:
  maxwell77
- 5 лет назад
- 0
Добавить свой ответ