В декартовой системе координат даны прямые p и q, определяемые уравнениями соответственно 3y+4x-12=0 и 2y-3x-5=0

Найдите:

а) площадь треугольника, образованного прямыми p и q и осью абсцисс

б) уравнение прямой q' - образа прямой q при осевой симметрии относительно прямой p 

а) 1. Находим координаты вершин треугольника.

- А(х;у) - точка пересечения прямых р и q. Объединяем уравнения этих прямых в ситему и решаем. А()

- B(х;у) - точка пересечения прямой р с осью Ох. у=0

4х-12=0

х=3

В(3;0)

- С(х;у) - точка пересечения прямой q с осью Ох. у=0

-3х-5=0

х=-5/3

С(-5/3;0)

2. Проводим высоту АН. Н(9/17;0)

3. Находим длину стороны ВС и высоты АН по формуле расстояния между точками.

d²=(х₂-х₁)²+(у₂-у₁)²

ВС²=(-(5/3)-3)² = (14/3)²

ВС=14/3

АН²=(9/17 - 9/17)² + (0 - 56/17)² = (56/17)²

АН=56/17

4. Находим площадь треугольника по формуле S=½ah

S=1/2 · 14/3 · 56/17 = (кв.ед.)

Ответ. (кв.ед.)

Решаем пункт б), вызывающий главные затруднения.

Итак прямая p:  3y+4x-12=0   - ось симметрии

Для нахождения образа прямой q возьмем две точки. Одна останется неизменной, а именно точка пересечения прямых p и q: (9/17; 56/17).

Другая: точка пересечения q с осью У: (0; 2,5). Найдем ее образ, воспользуясь формулами преобразования:

x" = x - [2A(Ax+By+C) / (A^2 + B^2)] 

y" = y - [2B(Ax+By+C) / (A^2 + B^2)], где А = 4, В = 3, С = -12

x" = 0 - [8(0+7,5-12)/25] = 36/25

y" = 2,5 - [6(0+7,5-12)/25] = 5/2  +  27/25 = 179/50.

Итак образ q" проходит через две точки: (9/17; 56/17) и (36/25; 179/50)

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

(у1-у2)х + (х2-х1)у + (х1у2-х2у1) = 0

Подставляем полученные координаты:

(56/17 - 179/50)х + (36/25 - 9/17)у + (9/17 *179/50  -  36/25 *56/17) = 0 

-27х + 86у - 269 = 0