Даны окружности w1([tex]O_{1}[/tex];7) и w2( [tex]O_{2}[/tex] ;3); O1O2=20. Найдите расстояние между точкой пересечения их общих внутренних касательных и точкой пересечения их общих внешник касательных

И внутренние и внешние касательные пересекутся в точках расположеных на прямой, проходящей через О1 и О2, исходя из полной симметрии задачи относительно этой прямой.

Пусть В1В2 - внешняя касательная (пересекает ось симметрии в точке А2 за меньшей окружностью)

С1С2 - внутренняя касательная ( пересекает ось симметрии в точке А1 между окружностями.

А1А2 = ?

А1А2 состоит из двух отрезков: А1О2 = х  и  О2А2 = у.

Тр.О1С1А1  подобен тр. О2С2А1 (прямоугольные и одна пара равных углов).

Составим пропорцию:

А1О2 / А1О1  =  3/7   Или:

х/(20-х) = 3/7     7х = 60 - 3х      х = 6.

Тр. А2В2О2 подобен тр. А2В1О1 (аналогично предыд. паре)

Составим пропорцию:

А2О2 / А2О1 = 3/7   Или:

у/(20+у) = 3/7   7у = 60 + 3у    у = 15.

В итоге А1А2 = х + у = 21

Ответ: 21.