Найдите длины катетов прямоугольного треугольника, один из углов которого равен 30° , если один из катетов на 30 см короче гипотенузы.

Пусть x - длина одного из катетов в сантиметрах.

Тогда длина гипотенузы будет (x + 30) сантиметров.

В прямоугольном треугольнике с углом 30° противоположный катет равен половине гипотенузы, умноженной на √3.

Таким образом, длина второго катета будет (x + 30) * √3 / 2.

Итак, у нас есть два катета:

1) x

2) (x + 30) * √3 / 2

Теперь воспользуемся теоремой Пифагора:

x^2 + [(x + 30) * √3 / 2]^2 = (x + 30)^2

Раскроем скобки и упростим уравнение:

x^2 + (3x^2 + 180x + 2700) / 4 = x^2 + 60x + 900

Упростим дробь:

4x^2 + 3x^2 + 180x + 2700 = 4x^2 + 240x + 3600

Сократим одинаковые члены:

3x^2 + 180x + 2700 = 240x + 3600

Перенесем все члены влево:

3x^2 - 60x - 900 = 0

Теперь решим квадратное уравнение:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

Для данного уравнения:

a = 3, b = -60, c = -900

x = (-(-60) ± √((-60)^2 - 4 * 3 * (-900))) / (2 * 3)

x = (60 ± √(3600 + 10800)) / 6

x = (60 ± √14400) / 6

x = (60 ± 120) / 6

Таким образом, получаем два значения для x:

x1 = (60 + 120) / 6 = 180 / 6 = 30

x2 = (60 - 120) / 6 = -60 / 6 = -10

Отбрасываем отрицательное значение, так как длина не может быть отрицательной. 

Таким образом, длина одного из катетов равна 30 см.

Длина гипотенузы будет (x + 30) = 30 + 30 = 60 см.

Длина второго катета будет (x + 30) * √3 / 2 = 60 * √3 / 2 = 30√3 см.

Итак, длина одного катета равна 30 см, а длина второго катета равна 30√3 см.